Élet és tudomány

Kerék, inga, bolygómozgás

Megjelent az Élet és tudomány 2009. októberi számában

Írta: Szilágyi Brigitta

A bennünket körülvevő világ egyik meghatározó jelensége a mozgás. Erről azonban a XVI. század végéig nem sokat írtak a tudósok. Az egyensúly csak-csak szóba került, de a mozgó testnek sokak szerint célja volt, azért változtatta a helyét, így értelmetlennek tartották a mozgás okát kutatni. A szabadon eső tárgyak egyenletesen gyorsuló mozgásával, az elhajított kő görbe vonalú pályájával Galilei kezdett először foglalkozni, kitárva a kaput a mechanika előtt. Később a matematika (differenciál és integrálszámítás) fejlődése tette lehetővé a mozgások analiktikus vizsgálatát.

Van egy pályagörbe, amely az egyenesen, körön, parabolán kívül talán a legtöbbször rajzolódik ki szemünk előtt: ez a ciklois. Nevének jelentése körtől származó, mivel egy egyenesen csúszás nélkül gördülő kör kerületi pontjának mozgásáról van szó. Később, amikor a gördülést nem csupán egyenes mentén vizsgálták vagy a kör belső-, illetve külső pontját is tekintették, a család újabb tagokkal bővült. (Ez utóbbi esetben gondoljunk arra, hogy nem a biciklikerék egy talajjal érintkező pontjának pályáját vizsgáljuk, hanem a küllő egy pontjáét, illetve például a villamos kerekének egy alsó pontjáét.) Az új görbe matematikai szempontból is érdekes volt: az első olyan transzcendens, nem algebrai eredetű görbe, amelyhez elegánsan tudtak érintőt szerkeszteni és az integrálszámítás megszületése előtt igen ötletesen a görbe alatti területet ki tudták számítani. (Algebrai görbének olyan görbét nevezünk, amelyhez tartozó pontoknak valamely Descartes-féle koordinátái az F(x,y)= 0 egyenlőséget elégítik ki.) Később a legkülönbözőbb feladatok megoldásaként bukkant fel a ciklois, sokan a kúpszeletekével összemérhetőnek tartották a jelentőségét. Így aztán a XVII. század legnépszerűbb görbéje lett. A legnagyobb tudósok Torricelli, Viviani, Fermat, Descartes, Roberval, Pascal, Huygens foglalkoztak vele.

Az egyenlet

Az egyenes, amelyen a kör gördül ( és amelyet vezéregyenesnek is neveznek) legyen a koordináta-rendszer x-tengelye és a csúszás nélkül gördülő kör (generáló kör) helyezkedjen el úgy, hogy középpontja az y-tengelyre essen. Vizsgáljuk a pozitív irányba gördülő, r sugarú kör azon pontjának mozgását, amely az origóból indul. Ekkor e pont koordinátái a szögelfordulás mint paraméter függvényében x(t)= r(t - sint) és y(t)= r(1 - cost) alakban írhatók fel. A pont mozgása tekinthető egy a kör középpontja körüli forgómozgás és egy x-tengellyel párhuzamos irányú haladó mozgás összegének is. Mivel a gördülés csúszás nélküli, így a két mozgás által megtett út egyenlő hosszú, a két mozgás sebességének nagysága azonos. Ezt megértve észrevehetjük, hogy a ciklois íven mozgó anyagi pont sebessége maximális a legmagasabb helyzetben, a talajjal érintkezve viszont zérus. Az érintő bármely pontban könnyen szerkeszthető, ha figyelembe vesszük, hogy a mozgó anyagi pont az erőhatások megszűnése után egyenes vonalú egyenletes mozgásba kezd a pályagörbe érintőjének irányába.
A görbe vonalú alakzatok területének kiszámítása már az ókor embereit is érdekelte. A Nílus évről évre különböző nagyságú területeket öntött el, és az adót az árvíz mértéke szerint kellett fizetni. Az így számolt területekben már a π is szerepelhetett, amelyet az egyiptomiak 256/81-del közelítettek. (Ez csak 0,6%-kal tér el a pontos értéktől!) Hasonlóan nagyszerű felfedezés a ciklois egyetlen íve alatti terület kiszámítása is az integrálszámítás megjelenése előtt. Ha görbénk egy tetszőleges pontját összekötjük e pontnak a generáló kör függőleges átmérőjére való vetületével, akkor a vetület koordinátái könnyen kiszámíthatók.

Ehhez a konstrukcióhoz egy történelmi érdekesség is kapcsolódik. A matematikusok már régóta foglalkoztak trigonometrikus függvényekkel, a szinuszgörbe azonban csak a XVII. században jelent meg így, „a ciklois kísérőjeként”. A cikloist kísérve három részre osztja azt: a szinuszgörbe alatti területre és két, úgynevezett Roberval-sziromra. Az eltolt szinuszgörbe alatti területről átdarabolással belátható, hogy nagysága 2π. A Roberval-szirmokra Cavalieri elvét alkalmazva egy szirom területére π/2 adódik. Tehát az egy ív alatti terület 3π.

Inga és hajózás

Pascal 1658-59 között tett nagy jelentőségű felfedezést a cikloissal kapcsolatban – annak forgatásával keletkező forgástest súlypontját és térfogatát határozta meg. Galilei nagyjából 75 évvel korábban Pisa városának templomában a mennyezetre függesztett csillár lengését figyelve azt tapasztalta, hogy a csillár (inga) lengésideje független a kitérés szögétől. Időmérőként pulzusát vagy a muzsika tempóját használta a fiatal tudós, ugyanis pontos órák még nem álltak rendelkezésre. „Minden idők legzseniálisabb órása”, Christiaan Huygens vette észre, hogy ez az állítás csak kis kitérés esetén igaz. Ezt követően Huygens egy olyan inga elkészítését tűzte ki célul, amelynek lengésideje független a kitérés szögétől. (Az ilyen ingát tautochron vagy izochron ingának hívjuk.) Mi késztette Huygenst arra, hogy majdnem negyven évig foglalkozzon ilyen ingaóra konstruálásával? A hajózás. A hosszúsági fokok közötti különbségtétel ez időben még nem volt megoldott feladat, míg a szélességi körök meghatározását a Sarkcsillag segítségével már régóta ismerték. A navigáció pontosításához először is meg kellett találni a megfelelő görbét, amely mentén az inga végpontja mozog.
Ez pedig éppen a ciklois! A kivitelezés nem ígérkezett könnyűnek, az ingafonal hosszát nem sikerült úgy változtatni, hogy a megfelelő pálya kialakuljon. Ekkor Huygens arra gondolt, hogy olyan akadályokat tesz a fonal útjába, amelyre az feltekeredve a kívánt pályára áll. Ekkor újabb probléma merült fel. Milyen alakúak legyenek az akadályok? Azt a görbét kellett tehát megtalálni, amelynek érintői egy adott ciklois normálisai. (Egy síkgörbe adott pontbeli normálisa az adott pontbeli érintőre merőleges egyenes.) A megoldásban váratlanul ismét a ciklois jelent meg. Ha a generáló kör sugara r, akkor az ingafonál hossza 4r. Így a ciklois egy ívének hossza 8r. Ezt 1685-ben Christofer Wren építész bizonyította be. A matematikusokra nagy hatással volt Wren eredménye, ugyanis az ívhosszszámítás hasonlóan izgalmas területe volt ez idő tájt a matematikának.
Az ifjú Galilei a pisai ferde toronyból tárgyakat leejtve vizsgálta a szabadesést, majd amikor a várost el kellett hagynia, egy laboratóriumba vitte kísérleteit. Ott azonban a tárgyak túl gyorsan estek, így lejtőn súrlódás nélkül csúszó testekkel folytatta vizsgálatait. Megfigyelte, hogy a lejtő aljára érkező test sebessége csak az elengedés magasságától függ, független a lejtő hajlásszögétől. Ennek kapcsán újabb kérdés merült fel. Tekintsünk két nem függőleges egyenesre eső pontot, legyenek ezek A és B, milyen pályán jut el A-ból B-be leggyorsabban a homogén gravitációs térben mozgó pont? Erre az úgynevezett brachisztochron problémára a válasz: ciklois. A megoldást Johann és Jacob Bernoulli, tanáruk Leibniz, Newton és L’Hospital is megtalálta. Ezzel megszületett a variációszámítás.

Körbe zárva

Cseréljük most körre a vezéregyenest! A ciklois család különböző tagjait kapjuk aszerint, hogy a mozgó kör az állót kívülről vagy belülről érinti. Az előbbi esetben előálló görbéket hipotrochoisoknak, az utóbbiakat epitrochoisoknak hívjuk. Ha a görbét leíró pont a gördülő kör kerületén helyezkedik el, hipo-, illetve epicikloisról beszélünk. Általában a cikloisok menete különböző aszerint, hogy a gördülő és az állókör sugarainak hányadosa racionális vagy irracionális szám. Ha a hányados racionális, akkor a görbe záródik és véges sok csúcsa van. Ha a hányados irracionális, akkor a görbének végtelen sok csúcsa van és nem záródik. Már a Kopernikusz előtti idők csillagászai felfedezték, hogy minden bolygó pályája a Nap körül megközelítően kör alakú és megközelítően ugyanabban a síkban, az ekliptikában van. Ezért bármely bolygó pályája a Földről trochoisnak látszik.

Nézzünk most a hipo- és epicikloisok nagyszámú és érdekes esetei közül néhányat! Ha a mozgó kör sugara negyede az állóénak és belül gördül, akkor az asztroidot kapjuk, amely érintőinek a koordinátatengelyek közé eső szakaszai állandó hosszúságúak. A mérnöki munkában jól ismert ellipszográf nevű eszköz – amely ellipszispontok szerkesztésére szolgál – ezen alapszik. Az asztroid tehát olyan ellipszissereget burkol, amelynél a tengelyek összege állandó. A háromcsúcsú hipocikloisnak is különös érintő tulajdonsága van: a görbe belsejébe eső érintőszakasz hossza, az érintési ponttól független állandó. Ezt a tulajdonságát korábban kapcsolatba hozták az úgynevezett geometriai minimum­problémával: adott hosszúságú szakaszt mozgassunk el a síkban úgy, hogy végül 180º-kal forduljon el és a mozgás közben súrolt terület a legkisebb legyen. E problémának nincs megoldása. Korábban úgy gondolták, hogy a megoldás az a háromcsúcsú hipociklois, amelyen érintőlegesen csúsztatjuk végig a szakaszt úgy, hogy végpontjai a görbén maradjanak. Ha az állókörön egy fele akkora sugarú kör gördül végig kívülről, kétcsúcsú epicikloist kapunk, amelyet alakja miatt vesegörbeként is emlegetnek. Ezt láthatjuk kávénk felületén vagy napos időben az asztalra letett karikagyűrű belsejében, mivel párhuzamos fénysugarak egy tükröző hengerfelületről való visszaverődés után egy kétcsúcsú epiciklois érintői lesznek, azaz epicikloist burkolnak.

Fogaskerekeink ugyancsak készülnek epi- és hipociklois profillal. A ciklois fogazású fogaskerekek eleget tesznek annak a követelménynek, hogy a hajtókerék állandó fordulatszáma esetén a hajtott kerék fordulatszáma is állandó. Előnyük, hogy kis fogszámmal is gyárthatók, ezért kis helyen nagy áttétel valósítható meg velük. Ezt használják ki régóta a mechanikus óráknál. Az ilyen fogaskerekek előállítása azonban nagyon költséges és munkaigényes, csak tömegtermelés esetén lehet gazdaságos. A magnetron ipari alkalmazása jól ismert, radarberendezésekben, mikrohullámú hevítőkben vagy azok kistestvérében, háztartásunk egyik közismert szereplőjében, a mikrohullámú sütőben találkozhatunk vele. Ki gondolná, hogy az úgynevezett soküregű magnetronban, amely egy hengeres diódához hasonlítható, az elektronok a katód és az anód között ugyancsak ciklois pályán mozognak?
Láthatjuk, a ciklois és családja ott volt a tudománytörténet egyes fejezeteinek születésekor. Ma pedig villanyborotvákban, szívmotorokban, bányagépekben nap mint nap találkozhatunk vele, csak járjunk nyitott szemmel.