Élet és tudomány

A Lilliput sejtés empirikus bizonyítása - Melyik végén törjük fel a tojást?

Megjelent az Élet és tudomány 2008. júliusi számában

Írta: Kékesi Dániel – Singer Patrik – Dénes Máté – Horányi Gábor

Életünk során gyakran kell szembenéznünk fontos döntésekkel. Ezek egyike, hogy melyik végén törjük fel a tojást. Együnk bár rántottát, készítsünk omlettet vagy tükörtojást, fájjon fogunk főtt tojásra, a kérdés megkerülhetetlen

A probléma legismertebb szakirodalma 1726-ból származik, az angol Jonathan Swift tollából. A lilliputiak földjén béke és háború, élet és halál kérdése volt a tojásfeltörés mikéntje. A hat hüvelyk magas emberkék világában a törvény szerint soha, senki nem törhette fel a tojást a vastagabbik végén, s e szabály megkérdőjelezése később háború kirobbantójává válhatott. .

Az emberi civilizáció ősi kérdéséről van tehát szó: mégis melyik végén érdemes, praktikus feltörni a tojást? Vége a találgatások időszakának, mi megadjuk a tudományos választ!

Statikusan vagy dinamikusan?

A tojás eltöréséhez nyilvánvaló módon valamekkora erő kell. De hogyan fejtsük ki ezt az erőt a tojás héjára? Első nekifutásra a statikus terhelés módszerével próbálkoztunk, de a héj túl sokat kibírt. A fokozatosan ráhelyezett tömegek kisebb heggyé magasodtak, de a tojás állta a sarat. Úgy éreztük, így nehezen jutunk előre.

Maradt a dinamikus tojástörés. Ennek lényege, hogy egy adott tömeget ejtünk a tojásra megfelelő magasságból. A jól kalibrálható nehezék egy homokkal részben megtöltött filmes doboz lett. A dobozt egy cső irányította a tojásra. Kezdetben felmerült, hogy a homok mennyiségének változtatásával befolyásoljuk a tojáshéjra mért ütést, de később világossá vált, hogy az ejtési magasság változtatása elegendő. Így viszonylag pontos méréseket kaptunk. De ne vágjunk a dolgok elébe...

A tojás rögzítése

Egy igazi mérés elvégzése során a legnagyobb tanulság amit a kísérletező szerezhet, hogy semmi sincs úgy, ahogy az elmélet alapján várni lehetne. A papírfizika nem érzékeny arra a rengeteg apróságra, amely például a tojás rögzítése során a mérés eredményét befolyásolja. Ráejtünk egy nehezéket a tojásra, s annak héja elreped. Olyan egyszerűen hangzik! De honnan tudjuk, hogy a repedés megtörtént? Hogyan befolyásolja az erők terjedését a tojás rögzítése?

Azt tapasztaltuk, hogy törés bekövetkeztének legegyszerűbb észlelése a becsapódás hangja alapján lehetséges. Nyilván számos esetben látszottak a tojás héján keletkező repedések, de ha ezek kitapinthatatlanul finomak voltak is, árulkodott létrejöttükről a becsapódás hangja. A filmes doboz és tojás rugalmatlan ütközése egész másképpen hangzott, mint amikor a tojás energiát vesz át a doboztól.

A rögzítés problémája sokkal jelentősebb volt, mint eredetileg véltük. Számunkra nyilvánvalónak tűnt, hogy a tojásokat jól stabilizálhatjuk egy satu pofái között. Sajnos a tojás a merev satupofák között könnyen elmozdult, vagy - ha a rögzítő erőt növeltük - gyakorta eltörött. Az is szerencsétlennek tűnt, hogy a rögzítés így két-három ponton történt, s attól lehetett tartani, hogy a tojás a rámért ütés hatására éppen ezeknél a rögzítési pontoknál fog eltörni, ha azokon a helyeken gyengébb a héj, mint ahová a csapást mértük. A probléma megoldását nem segítette, hogy a satupofákat filccel vontuk be, más megoldás után kellett nézni. Úgy döntöttünk, hogy a tojást valamilyen „ágyba" rögzítjük. Először a mentőknél olyan sikeresen alkalmazott vízágy merült fel. Egy léggömbbe vizet tettünk, s ebbe a vízágyba állítottuk a tojást, melynek megtámasztásához még mindig kellett a satu. De a víz lötyögött, a tojás könnyen elmozdult benne. Egy sűrűbb folyadékot kerestünk. Ez lett a liszt. A léggömbbe töltött liszt képlékeny masszaként viselkedett, és sokkal jobban megtámasztotta a tojást, mint a vízágy. Ugyanakkor a léggömb anyaga korlátot szabott a tojás lisztbe merülésének. Ezután született meg a végleges, minden korábbinál egyszerűbb megoldás, a tojást közvetlenül egy liszttel töltött pohárba nyomtuk. Ez a megoldás amilyen egyszerű volt, olyan jónak bizonyult.

Gömböc és tojás

Azt feltételeztük, hogy a tojást a hegyesebb végén nehezebb feltörni, mint a laposabb végén. Ezzel valószínűleg legtöbb olvasónk egyetért, mégis, ez a megállapítás inkább tekinthető intuíciónak, mint ellenőrzött tapasztalatnak.

De vajon mit értsünk azon, hogy a tojás hegyesebb, vagy laposabb? Míg a válasz nyilvánvalónak tűnik, ennek matematikailag helyes meghatározásával meggyűlt a bajunk. A görbület fogalmának megértésében Domokos Gábor, a Gömböc feltalálója volt segítségünkre. A tojás görbületének értelmezése után feltételezésünk a következőképpen szólt: a nagyobb görbületű helyeken a tojást könnyebb feltörni, mint a kisebb görbületűeken.

A továbbiakban azt kerestük, hogy mely helyeken tudjuk a görbületet hatékonyan vizsgálni. Kifőztük a tojásokat, a kemény tojásokat metszettük, festékkel tojáslenyomatokat készítettünk. Fontos problémába ütköztünk a tojások összehasonlításakor: vajon létezik-e egy standard tojás alak, azaz hasonlít-e minden tojás egymásra? Vagy legalább egy faj egyedeinek tojásaira elmondható-e ez a hasonlóság? Szomorúan tapasztaltuk, hogy az előző kérdésre a valószínű válasz: nem. Így hiába készítettük a bonyolult tojásnyomatokat, vezettük be a normált tojás fogalmát (egységnyi magasságú, így összehasonlítható tojásalakok), a pontos numerikus számításokra a tojások sokfélesége miatt nem volt lehetőségünk. Talán egy komoly tojás-mintavételi eljáráson alapuló tojásalak-statisztikát kellett volna felvenni. De vajon a méretek nem befolyásolják a héj stabilitását? Mikor erre a pontra érkeztünk, úgy éreztük, mint akik az ismeretlen feneketlen kútjába tekintenek be, s lámpájuk fényével éppen csak a kútkáva körülötti sötétséget tudják megvilágítani. Mire tudunk egyáltalán válaszolni? Tulajdonképpen csak arra, hogy hol érdemes megtörni a tojást, a laposabb vagy a hegyesebb felén? Vagy esetleg jobb lenne a derekánál, s akkor kiderülhetne, hogy inkább fekvő tojásokra érdemes tojástartókat fabrikálni? A kérdés csak ennyi, de vajon nem haltak meg ezrek ilyen és ehhez hasonló kérdések miatt a történelem folyamán? Vajon érdekli-e a tömegeket a matematikai számítások bonyolult világa? Nem elsősorban egyszerű, közérthető válaszokat várnak a kutatóktól? Mi - ha a részletekre nem is - de a közérthető lényeg meghatározásra készen álltunk.

Törésteszt

Méréseink során a pontosan kalibrált ejtőcső segítségével az ütések nagyságát az esési magassággal jellemeztük. Mivel pontos numerikus kapcsolatot a görbület és az esési magasság között nem tudtunk felállítani, így ez az eljárás arra volt alkalmas, hogy a görbület és a törést előidéző erő közötti empirikus összefüggést megállapítsuk.

Az adatokat három csoportba osztottuk annak megfelelően, hogy mennyire bizonyult erősnek a tojás héja. Ilyen módon gyenge, közepes és erős tojásaink voltak a mintában. Mindhárom tojástípusnál a tojás görbületi sugara és a törhetősége (a törést kiváltó erő) között kerestünk kapcsolatot, három különböző helyzetben. A tojás csúcsán (C), a lapján (L, a csúccsal szemközti oldalon), illetve az oldalán (O, ahol a tojás megáll). Az egyes csoportokba eső tojásokra vonatkozó mérési adatokat átlagoltuk. A tojás magasságával leosztott görbületi sugarakat (normált görbületi sugár) minden pontban két egymásra merőleges sík mentén határoztuk meg, s ezek szorzatának függvényében ábrázoltuk a héj törését okozó test ejtési magasságágát (a törőerővel arányos mennyiség).

Grafikonjainkról világosan leolvasható, hogy a sejtésünk - sokunk sejtése - tapasztalati igazolást nyert. A tojást a nagyobb görbületi sugarú, tehát kevésbé görbe (laposabb) részén könnyebb feltörni. S ez az eredmény független attól, hogy a tojásnak erősebb vagy gyengébb a héja.

Hogy az emberiség számára a tojásról szerzett ismereteink hasznosak-e, ítélje meg ki-ki maga. De hogy tanultunk valamit a tudományos módszerről munkánk során, ahhoz nem fér kétség. 

Keretes 1

Jonathan Swift (1667 - 1745) legismertebb hőse Gulliver lilliputi utazása során két nagyhatalom, Lilliput és Blefuscu heves és makacs háborúskodásával találja szemben magát. Az ellenségeskedés éppen a tojástöréssel kapcsolatos nézeteltéréssel kezdődött. Hosszú ideig a két ország megegyezett abban, hogy a tojást, mielőtt megesszük, a vastagabbik felén kell feltörni. Gulliver ottjártakor a trónt elfoglaló dicsőséges lilliputi uralkodó nagyatyja azonban, egyszer feltörvén a tojást a vastagabb végén, megvágta az ujját. Így Lilliput császára azt az ítéletet hozta, hogy ezentúl csak a vékonyabbik felén lehet feltörni minden tojást. A döntést Blefuscu ura és népe a hagyományra hivatkozva nem tekintette magára nézve kötelezőnek. A vitát rengeteg halálos áldozatot követelő véres ütközetek követték.

Keretes 2

Miért pont a tojás? - a tanár szemszögéből

Mit tanítsunk és hogyan? Ismeretet adjunk át, vagy képességet fejlesszünk? A szembeállítás sokszor mesterséges. Nincs értelme az ismeretátadásnak, ha nem párosul hozzá a megértés, parttalan a képességfejlesztés, ha nem ismeretek alapozzák meg. A természettudományos gondolkodás a diákok számára érdekes gyakorlati problémákon fejleszthető, s nem feltétlen szükséges, hogy a kérdés a kanonizált tananyag része legyen. A Lauder Iskola természettudományos képzésében a tevékenység alapú, természettudományos képességfejlesztésre számos példát találunk.

Keretes 3

Miért pont a tojás? - a diákok szemszögéből

Minden ott kezdődött, hogy Pásztor Dani elkészítette dolgozatát a rágógumik megnyúlásáról. Mi is csinálni akartunk valamit - de mivel foglalkozzunk? A jó témával szemben a következő elvárásaink voltak: legyen egyszerű, de nem szokványos. Oldjon meg valamilyen konkrét problémát, de ne legyen túl komoly. Legyen a mérés könnyen kivitelezhető, különleges műszereket ne igényeljen.

Megvitattuk az ötleteket, de végül nem került kenyértörésre sor közöttünk. A tojástörés mellett döntöttünk.

Keretes 4

Gömböc és görbület

A Magyar Szabadalmi Hivatal Szép esték sorozata keretében Domokos Gábor, a gömböc megtalálója tartott előadást. Bár a tojás nem gömböc, de azért van némi hasonlóság a két formában. Gondoltuk, az előadás apropóján megkérdezzük Gábor véleményét mérésünk részleteiről. Ekkor még csak a satupofás rögzítés stádiumánál tartottunk. Tőle kaptunk javaslatot a vízágy kipróbálására, s ezt fejlesztettük azután tovább a végleges, lisztes rögzítés irányába.

A másik fontos tanács a görbület kérdésére vonatkozott. Úgy ítéltük, hogy a tojás pontjait a héj görbülete alapján azonosítjuk. De mit jelent a görbület egy test esetében? Ebben a kérdésben Gábor nyitotta fel a szemünket, amikor rámutatott, hogy a görbület két egymásra merőleges síkmetszet mentén mért görbületek szorzataként értelmezhető hatékonyan.

Keretes 5

Miért tojás alakú a tojás?

A tojásformának több előnye van a gömbalakkal szemben. A madarak könnyebben tudják megtojni, kevésbé törékeny, s nehezebben gurulnak el, ami például a sziklákon fészkelő madarak túlélése szempontjából fontos tényező. A tojásforma a fészekben helytakarékosabban fér el, mint a gömb, s ezáltal kisebb a hőveszteség is. A legfontosabb ok azonban a tojás ivarvezetékben való mozgásával függ össze. A tojást perisztaltikus mozgás hajtja előre. Az ivarvezetékben a tojás még puha, így amikor a tojás alatt elernyednek az izmok, fölötte pedig összeszűkülnek, deformálódik a még puha héjú, s fokozatosan megszilárduló tojás. Mivel a gyűrűsizmok átmérője kifelé egyre csökken, a kipottyanó és megszilárdult tojás az ismert alakot veszi fel. Ez a mechanizmus magyarázza a még azonos faj tojásai között is megfigyelhető különbségeket is.